“两点一线”求“最值”

合同范文 2019-10-26176未知admin

  “两点一线”求“最值”_数学_初中教育_教育专区。“两点一线”求“最值” 在初中数学学习中,我们时常会遇到求距离的“最”值,此类问 题会用许多实际问题作为包装,但其本质上还是一个求极值的问 题。 它们看起来很复杂, 其实只需一个数学上最基本的原理——

  “两点一线”求“最值” 在初中数学学习中,我们时常会遇到求距离的“最”值,此类问 题会用许多实际问题作为包装,但其本质上还是一个求极值的问 题。 它们看起来很复杂, 其实只需一个数学上最基本的原理—— “两 点之间,线段最短” 。当然,为了利用这一原理来解决问题,我们 还时常需要创造一定的条件,才能使问题得以解决,下面我们就讲 解一下常见的两种类型最值的求法。 一、距离之“和最小” 问题原型:如图 1,点 a、b 在直线 l 的两侧,试在直线 l 上求作 一点 p,使 pa+pb 最小? 解决思路:连接 ab 交直线 l 于点 p,则点 p 即为所求。 我们可以做如下证明: 如图 2,在直线 l 上任取异于点 p 一点 p’,连接 p’a、p’b,可 知 p’a+p’bab, (两点之间线段最短)所以 p’a+p’bpa+pb, 所以点 p 即为所求做的使 pa+pb 最短的点。 问题变形一:如图 3,点 a、b 在直线 l 的同侧,试在直线 l 上求 作一点 p,使 pa+pb 最小? 解决思路:相比较图 2,本题中两点 a、b 分别位于直线 l 的同侧, 欲参照图 2 作法求作距离和最小的点,需使两点位于直线的两侧, 且不能影响到两点中与直线上任一点的距离,这一要求可由我们学 过的轴对称来实现,所以我们可用如下办法来寻找点 p 的位置:作 点 b 关于直线 l 的对称点 b’,连接 ab’交直线 l 于点 p,则点 p 即为所求。 我们可作如下证明: 如图 4, 在直线 l 上任取异于点 p 的一点 p’, 连接 p’a、p’b、p’b’,因为点 b,b’关于直线 l 对称,由对 称的性质可知 pb=pb’,p’b=p’b’,如图可知: p’a+p’b=p’a+p’b’ab’=pa+pb’=pa+pb, 所以 p’a+p’bpa+pb,故点 p 即为所求。 实际应用:大王庄和小王庄都在河的同侧,现欲在河岸边修建一 座水泵站向两村供水,水泵站建在何处可使到两村的距离之和最 短,从而节省管道费用? 此问题中可抽出数学模型即为上例:河岸可看作一直线,两村可 看作数学上的两个点,此问题就是在直线上求做到直线同侧两点距 离之和最短的点,解决方法其实就是上面问题的解决方法。 问题变型二:如图 6,∠aob 内部有一点 p,在角的两边 oa、ob 上 分别找两点 m、n,使 pm+pn+mn 最小。 解决思路:作点 p 关于 oa、ob 的对称点 p1、p2,连接 p1p2 分别 交 oa、ob 于 m、n,则 m、n 即为所求。 同学们,你能仿上面的例子,利用对称的性质和两点之间线段最 短的原理来证明这一结论吗?试试看! 实际应用:如图 7,小李家 a 在牧区生活,每天他都要去羊圈 b 赶 羊出来,放羊到草地吃草后再到河边饮水最后把羊赶回家 a。你能 给出他的最短的路径吗? 此问题的解决思路和方法与上例完全相同,不同的是这里变成了 两个点,道理还是一样的。 此数学模型在实际问题中的应用:如图 8,一蜜蜂在圆柱形杯子的 外壁,看到杯子的内壁上有一滴蜂蜜,想要爬过去吃到蜂蜜,那么 它的最短的爬行路径是什么?你能做出它爬行的最短路径吗? 解决思路:此问题是空间中的一个问题,我们解决此类问题的基 本思路是把空间的问题首先转化为平面上的问题才可以用我们上 面的方法来解决。方法如下: 把此圆柱沿一母线 示矩形,上一问题要求蜜蜂从 外壁 a 爬行到内壁 b 处,必须经由上边沿,方可到达内壁的 b 处, 此一问题可转化为图 9 中的从 a 过直线 mn 上的一点到达 b 的最短 距离,即为寻找直线 mn 上的一点,使其到 a、b 的距离之和最短, 其实这个问题就是我们上面讲到的第一个问题。 二、距离之“差最大” 问题原型:如图 12,点 a、b 分别在直线 l 的同侧,请在直线 l 上 找一点 p,使∣pa-pb∣最大? 解决思路:连接 ab,交直线 l 于点 p,则点 p 即为所求。 我们可以证明如下:如图 11,取直线 l 上异于点 p 的任一点 p’, 连结 p’a、p’b,可知 p’a-p’bp’a-p’b,所以点 p 即为到 a、 b 两点的距离之差最大的点。 问题:如图 12,点 a、b 在直线 l 的异侧,试在直线 l 上找一点 p, 使∣pa-pb∣最大。 解决思路:此问题中已知点 a 与点 b 分列在直线 l 的两侧,如果 能转化成上例中两点都在直线的同侧时,我们就可依上例解决此问 题,类似上面我们解决此类问题的方法,可用对称的方法来达到这 一目的,即改变点、线的相对位置,但是不改变点与线上的任一点 之间的距离,所以我们可以得到如下解决办法: 作点 b 关于直线 l 的对称点 b’连接 ab’交直线 l 于点 p,则点 p 即为所求的使∣pa-pb∣最大的点,证明方法可依上例证明,相信 到现在学生一定都能够自己独立地完成这个问题了。 总之,此类问题的解决思路主要来源于这两个方面,一是应用了 数学上的一个基本原理“两点之间,线段最短”或者这一原理的推 论“三角形中任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三 边” 。二是解决此类问题最关键的是转化,即化未知为已知,如“和 最小”问题中两点在异侧可易求出点 p,若两点在直线的同侧,可 利用对称的性质,将其转化到异侧,问题得解;又如“差最大”问 题中如两点在直线的同侧易求点 p, 若在异侧可仿上例转化到同侧, 它们都是用到了对称的“改变点、线的相对位置,但是不改变点与 线上的任一点之间的距离”这一性质。对于实际问题,只要我们善 于从中发现和抽出数学模型,就可以使问题得以解决。

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